Flächeninhalt als Grenzwert/variable Grenzen

[Aecker]

Hallo, ich habe Schwierigkeiten beim berechnen der Fläche zwischen der x-Achse und einer Normalparabel(y=x²), im Intervall [a;b] wobei a und b nicht definiert sind, nur b>a & a ist nicht der Ursprung bzw. nicht der Schnittpunkt des Graphen der Funktion f(x)=x² mit der x-Achse.
Somit ist h=(b-a)/n
und die entsprechende Obersummenformel ist dann :
O_n=((b-a)/n) *[(1*(b-a)/n +a)²+(2*(b-a)/n +a)²+...+(n*(b-a)/n +a)²]
Mit der binomischen Formel die Klammern auflösen :
=((b-a)/n) *[((b-a)/n)²+2*a*((b-a)/n)+a² +4((b-a)/n)²+4*a*((b-a)/n) +a² +...+n²((b-a)/n) +2*a*n*((b-a)/n) +a²]

Das kann ich ja zusammenfassen zu:
=((b-a)/n)*(n*a² +((b-a)/n)²+2*a*((b-a)/n)+4*((b-a)/n)+4*a*((b-a)/n)+...+n²((b-a)/n)²+2*a*n((b-a)/n)]

=((b-a)/n)*n*a²+((b-a)/n)[((b-a)/n)²+2*a*((b-a)/n)+4*((b-a)/n)+4*a*((b-a)/n)+...+n²((b-a)/n)²+2*a*n((b-a)/n)]

=((b-a)/n)*n*a²+((b-a)/n)²[((b-a)/n)+2*a+4*((b-a)/n)+4*a+...+n²*((b-a)/n)+2*a*n]

=((b-a)/n)*n*a²+((b-a)/n)²[2*a+4*a+...+2*a*n+((b-a)/n)+4*((b-a)/n)+...+n²((b-a)/n)]

=((b-a)/n)*n*a²+((b-a)/n)²*2*a+((b-a)/n)[1+2+...+n+((b-a)/n)[1²+2²+...n²]]

=((b-a)/n)*n*a²+((b-a)/n)²*2*a+((b-a)/n)[1+2+...+n]+((b-a)/n)²[1²+2²+...n²]
Die Summen in den eckigen Klammern kann ich ja durch die entsprechende Summenformel umschreiben :
=((b-a)/n)*n*a²+((b-a)/n)²*2*a+((b-a)/n)*1/2*n(n+1)+((b-a)/n)²*1/6*n(n+1)(2n+1)

Wenn ich das aber ausmultipliziere, kommt ein extrem langer Term raus, und ich bin mir nicht sicher ob ich auf dem richtigen Weg bin und hoffe, ihr könnt mir auf diesen verhelfen, ist mein Vorgehen richtig oder sind irgendwo Fehler ? :)

LG Aecker

[Rifler]

Flächenberechnungen unter einer Kurve macht man doch mit dem Integral...

Also Integral von a bis b von x^2 dx. Ich nimm jetzt mal als Integralzeichen | :

Flächeninhalt = |x^2dx = (x^3/3) von a bis b.

Nun obergrenze einsetzen minus der Untergrenze = b^3/3 - a^3/3. Das sollte deine Flächeninhalt sein....

[Aecker]

Das Integral behandeln wir erst danach, also ein Kapitel später und wir sollen das erstmal nach dem obigen Verfahren machen, meinte der Lehrer :S
Wir hatten ein Beispiel vorher mit einer Geraden der Gleichung y=x, das hat gut geklappt, aber mich irritiert nun das ² der Funktionswerte bzw wie ich so verfahren soll, dass diese extrem langen Terme nicht herauskommen wenn sie falsch sein sollten... Spaß mit ihnen zu rechnen macht es auch nicht gerade:/

[liguan187]

klingt wie chinesisch :D

[Aecker]

Einfach ist es keinesfalls, das stimmt :D aber ich habe keine Ahnung, wie ich die Formel veranschaulichen kann, oder gibt es sowas wie LaTex in diesem Forum? Wenn ja, habe ich diese Option noch nicht gesehen.

[Mofo]

Ein integral mittels Streifen festgelegter Breite zu berechnen ist nicht nur Mühsam sondern auch ineffizient..
Das macht man nur um richtiges integrieren zu begreifen..
Das Geschreibsel hab ich mir nicht genauer angesehen da das in dieser Darstellungsform wirklich unansehnlich ist ^^
Aber wenn du das Prinzip verstanden hast dann mach es gleich richtig, das Ergebnis wird nur genauer..

[Aecker]

Aber so steht später n im Zähler, d.h. der Wert des Bruches läuft auf unendlich zu, wenn man n gegen unendlich laufen lässt, um den Limes zu berechnen. Irgendwie scheine ich doch nicht auf dem richtigen Weg zu sein. :/

[derdj]

Ich kann mich OpCodez nur anschließen. Man wird im Normalfall über die Trapezformel rangeführt. Nennt sich dann numerisches Integrieren und dann sollten auch bald die normalen Integrale folgen.
Bildlich gesehen ist numerisch viele viele Rechtecke unter deiner Kurve die du dann von der Anzahl gegen unendlich laufen lässt.


Und das Thema wirst du doof finden, sobald du 3-fache partielle Integration und so ne Späßchen hast um Stammfunktionen zu ermitteln. :twisted

[Zylasty]

Uj, na da kommt ja schulisch was auf mich zu :D

Wo lernt man sowas? Mathematik/Informatik Studium, oder fängt es auch schon in der Oberstufe an?

[Mofo]

Auf jedem normalen Gymnasium oder Oberschule,
Zumindest hier in Bayern..

[chilln]

12 Klasse ist das 0o

Das ist nicht besonders schwer, wobei die ersten Vorlesungen an der Uni sind eindeutig einfacher als 13te Klasse :D (Außer Statik)

[terrorzwerg]

In der Oberstufe, in der Uni (ich spreche von Ingenieurstudiengängen) wird das ganze dann in mehreren Dimensionen, mit analytischer Geometrie verknüpft (Vektoranalysis) und mit Koordinatentransformationen gerechnet, aber alles nicht schwer vorrausgesetzt du hast die Integralrechnung erstmal grundsätzlich verstanden, also schön aufpassen ;)