Problem mit Ebenenschar - Schnittgerade

[haxor112]

Hi,

ich stehe vor folgendem Problem vllt könnt ihr mir helfen:

gegeben ist die Ebenenschar
Ek: (2+4k)*x + (2+k)*y +(k-1) *z +3 = 0

und die Gerade
g: x = (1,-3,-1) + s(1,-2,-2)

Ich soll nun zeigen das die Gerade g Schnittgerade aller Ebenen der Schar ist.Leider hab ich da irgendwie gerade keine Idee zu wer nett wenn mir jemand helfen könnte

[blackberry]

berry'sche Hausaufgabenhilfe

Erstmal vorweg: die Aufgabe ist falsch gestellt. Die Gerade ist nicht die Schnittgerade aller dieser Ebenen. Wenn du dir ein paar Überlegungen schon gemacht hast, dann sollte dir auch sofort klar sein, wieso; dazu am Ende mehr.

Zunächst mal ein kleiner Plot für k=0 und k=-3.
http://img7.imagebanana.com/img/19838q5v/ebenen.png

Deine Ebenengleichung (habe ich schonmal erwähnt wie sehr ich die Notation aus der Schule hasse?) lässt sich auch als Gleichung mit einem Skalarprodukt interpretieren (was so ziemlich die Idee ist, die hinter der Hesse Normalform steckt). Unter der Betrachtung ist deine Ebene für ein festes k genau die Menge der Vektoren, die senkrecht (orthogonal) auf dem Vektor
http://www.cyberroadie.org/cgi-bin/mathtex.cgi?\png\definecolor{c}{RGB}{0,0,255}\colo r{c}\begin{pmatrix}2+4k\\2+k\\-1+k\end{pmatrix}
stehen. Lässt du k laufen, so hast du in gewisser Weise auch wieder eine Gerade. Du kannst dir also vorstellen, wie der Vektor, auf dem alle Vektoren der Ebene orthogonal stehen sollen im Raum "wandert"; das kann dir anschaulich auch klar machen um welche Achse diese Ebenen im Vergleich zu ihren "Geschwistern" gedreht sind.

Im Plot habe ich die Bahn des Vektors mal abschnittsweise gezeichnet; das ist die mit den beiden Kugeln am Anfang und am Ende. Verbindest du gedanklich die linke blaue Kugel mit dem Nullvektor, so wirst du sehen, dass alle Vektoren aus der grünen Ebene orthogonal zu diesem sind. Analoges gilt für rechte blaue Kugel und die blaue Ebene (da sieht man das sogar noch ein wenig besser finde ich).

Noch ein Bild:
http://img6.imagebanana.com/img/njfb8ri7/ebenen2.png
Stell dir die grüne Ebene fixiert an der roten Linie vor und den roten Punkt fixiert an der Ebene, aber beweglich auf der blauen Gerade. Du erhälst alle Ebenen, indem du den roten Punkt auf der blauen Gerade entlang bewegst und dabei die Ebene entsprechend mit drehst. Entsprechend ist die rot eingezeichnete Gerade die gemeinsame Schnittgerade aller dieser Ebenen.

Dass diese Schnittgerade durch den Ursprung geht sollte einem sofort klar sein, da der Nullvektor orthogonal auf jedem Vektor steht, also nach unserer Einsicht über die Beschaffenheit der Ebenen, Element jeder dieser Ebene ist. Eine Schnittgerade muss also zwangsweise den Nullvektor enthalten.

An dieser Stelle könnte man die Aufgabe schon abbrechen, weil offensichtlich die Vektoren in deiner Geradengleichung linear unabhängig sind und du darum den Nullvektor nicht aus diesen Kombinieren kannst und folglich der Nullvektor nicht Element deiner Geraden ist (das wäre der oben schon versprochene Trick um das sofort zu erkennen).

Aber gut... ohne Plotter usw. hat man ja vielleicht (ich meiner Ansicht nach schon; geht aber nicht jedem so) keine direkte geometrische Vorstellung von dem Problem, also hier noch ein Weg mit etwas mehr Rechnung:

Wenn deine Gerade die Schnittgerade sein soll, dann muss sie parallel zu jedem Normalenvektor sein; diesen Normalenvektor in Abhängigkeit von k habe ich oben bereits angegeben. Du prüfst also, ob die Gerade stets parallel zu den Normalenvektoren ist; du bildest also das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor der Geraden (das wäre (1 -2 -2)). Das ist auch wirklich 0.

Wenn die Gerade sich nun auch noch mit jeder Ebenen schneidet, dann haben wir unsere Lösung, denn: die Gerade hätte einen Schnittpunkt mit jeder Ebenen und die Vielfachen vom Richtungsvektor die du hinzuaddierst sind alle Elemente von jeder Ebenen (weil orthogonal zu jedem Normalenvektor); also läge die Gerade auf jeder Ebene.

ABER: (1 -3 -1) ist Element der Geraden (klar; setze s=0 in deiner Gleichung), aber kein Element irgendeiner dieser Ebenen, denn (1 -3 -1) steht nicht orthogonal auf den Normalenvektoren (berechne erneut ein Skalarprodukt).

Hoffe das war ausführlich und anschaulich genug.

[haxor112]

Danke für deine ausführliche Antwort allerdings bin ich mit dir nicht ganz einverstanden(hab mich auch noch mit der aufgabe und meinen unterlagen außeinander gesetzt)

Mein Ansatz sah zunächst wie folgt aus:
Der Normalenvektor der ebene und der richtungsvektor der geraden müssen linear unabhängig(wieso bei dir abhängig? schließlich soll sie die gerade nicht durch alle ebenen gehn sondern soll die stelle sein in der sich die Ebenen schneiden.) sein und der ortsvektor muss in der ebene liegen

Also

r*(normalvektor)*s(1 -2 -2) = 0
2rs + 4krs -4rs -2krs -2krs +2rs = 0
<=>4rs -4rs + 4krs -4krs = 0
<=> 0 = 0
=>alle unabhängig/orthogonal

Konkret: nehm wir z.b. für r 1, setzten für k 1 und s = 2
(6 3 0) * (2 -4 -4) = 0

=> linear unabhängig/orthogonal zu einander


dann muss der ortsvektor (1 -3 -1) in der Ebene enthalten sein

schnell eingesetzt und die klammern aufgelöst:
2+4k -6-3k-k+1+3= 0
<=>-6 +6 + 4k -4k = 0
<=> 0=0

Somit gibt es unendlich viele Schnittpunkte mit allen Ebenen der Schaar => Schnittgerade der Ebene

Du scheinst dich wohl vertan(linear abhängig?) bzw dich verrechnet zu haben(Ortsvektor keine Element der Ebene o0?)

[blackberry]

Lineare (Un-)Abhängigkeit und Orthogonalität sind zwei verschiedene Begriffe. Außerdem bekomme ich nicht wie du sagst, dass der Richtungsvektor von der Geraden paarweise linear abhängig zu den Normalenvektoren der Ebenen wäre, sondern dass dieser paarweise orthogonal zu diesen ist (was im übrigen lineare Unabhängigkeit impliziert.). Da decken sich unsere Ergebnisse also noch.

Du hast aber Recht... ich habe mich in der Tat vertan ^^
Habe nämlich das +3 am Ende der Ebenengleichung überlesen; entsprechend gehen die Ebenen bei mir alle durch den Ursprung.

Vergisst man das +3 nicht, so verschieben sich die Ebenen dann direkt so, dass der Stützvektor der Geraden eben doch in jeder Ebenen liegt.