Frage zur Fakultät

[lolwtfomgrotfl]

0,5!=0,5*√(pi)
1,5!=1,5*0,5*√(pi)
2,5!=2,5*1,5*0,5*√(pi)
3,5!=3,5*2,5*1,5*0,5*√(pi)
4,5!=4,5*3,5*2,5*1,5*0,5*√(pi)
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[Planxty]

0,5!=0,5*√(pi)
1,5!=1,5*0,5*√(pi)
2,5!=2,5*1,5*0,5*√(pi)
3,5!=3,5*2,5*1,5*0,5*√(pi)
4,5!=4,5*3,5*2,5*1,5*0,5*√(pi)

genial kommt hin.
Nun aber die entscheidende frage - Warum?!

[Toastbrot]

Du kennst ja die Fakultät natürlicher Zahlen (z.B. 5! = 5*4*3*2*1 = 120)

Allgemein gesagt: n! = n * (n-1)! (Rekursiv)

Die Fakultät einer reellen Zahl sieht demnach folgendermaßen aus:

4,32! = 4,32 * 3,32 * 2,32 * 1,32 * ?

Der letzte Faktor ist demnach unbekannt und man kann die Gleichung zumindest jetzt noch nicht lösen.

Statt dem ! nutzt man jetzt die Gammafunktion. Daraus wird dann in dem Beispiel:

Gamma(4,32) = 3,32 * 2,32 * 1,32 * Gamma(0,32)

dabei wird Gamma definiert als Gamma(x) = (n-1)!

Nun müssen wir "nur" das Ergebnis der Gammafunktion für den Parameter 0,32 errechnen.

Also Gamma(0,32)

Die Gammafunktion schaut folgendermaßen aus:

[0;∞](e^(-t) * t^(x-1))

Schön und gut, aber wie kommt man jetzt auf Wurzel(pi)?

Zunächst ein weiteres Beispiel:

Gamma(3,5) = 2,5 * Gamma(2,5) = 3,5 * 2,5 * Gamma(1,5) = 3,5 * 2,5 * 1,5 * Gamma(0,5)

Dieses Beispiel zeigt, dass wir Gamma nur für Werte zwischen 0 und 1 brauchen. Durch die Auflösung des Integrals mit t = z² und dt = 2z dt ergibt sich aus Gamma(0,5) = sqr(pi)


Ich hoffe mal das stimmt so einigermaßen...

PS: Das gilt jetzt selbstverständlich nur für die "*,5" Fakultäten (sprich 1,5; 2,5; 3,5 und nicht für 5,312)

Aber sowas macht ihr doch nicht in der Schule oder? Sowas kommt in Analysis im Mathe Studium