Lineare (Un-)Abhängigkeit und Orthogonalität sind zwei verschiedene Begriffe. Außerdem bekomme ich nicht wie du sagst, dass der Richtungsvektor von der Geraden paarweise linear abhängig zu den Normalenvektoren der Ebenen wäre, sondern dass dieser paarweise orthogonal zu diesen ist (was im übrigen lineare Unabhängigkeit impliziert.). Da decken sich unsere Ergebnisse also noch.

Du hast aber Recht... ich habe mich in der Tat vertan ^^
Habe nämlich das +3 am Ende der Ebenengleichung überlesen; entsprechend gehen die Ebenen bei mir alle durch den Ursprung.

Vergisst man das +3 nicht, so verschieben sich die Ebenen dann direkt so, dass der Stützvektor der Geraden eben doch in jeder Ebenen liegt.