Wie nennt man einen Primkörper dessen Index keine Primzahl ist?

[BlackCobra]

Hallo FH,

Im Grunde genommen steht meine Frage schon Im Titel,
Ich habe ein Problem mit der unterliegenden Menge eines Vektorraums, diese schreibt sich F_8, in Latex "$\mathbb F_8"
Ich bin mit dem Konzept des Primkörpers F_p vertraut, allerdings würde ich gerne wissen was es mit der Struktur F_p auf sich hat wenn p keine Primzahl ist.
Mir würde schon der Name dieses Konstrukts weiterhelfen, damit ich für meine Abgabe recherchieren kann.

Danke im voraus.

[ExTaSy]

Wenn der Index keine Primzahl ist, so ist auch nicht mehr von einem Primkörper die rede. Dann ist es "nur" ein endlicher Körper. Bin mir aber nicht sicher

[BlackCobra]

Stimmt, aber sofern ich mich richtig erinnere, waren diese Strukturen definiert als F_p^n wobei p immer noch eine Primzahl ist, n allerdings Element der Natürlichen Zahlen, und hatten ein paar eigenartige Rechenregeln an die ich mich leider nicht mehr erinnern kann.

[blackberry]

Wenn der Index keine Primzahl ist, so ist auch nicht mehr von einem Primkörper die rede. Dann ist es "nur" ein endlicher Körper. Bin mir aber nicht sicher

Korrekt; endliche Primkörper haben stets Primzahlordnung (d.h. die Anzahl der darin enthaltenen Elemente ist prim).

Stimmt, aber sofern ich mich richtig erinnere, waren diese Strukturen definiert als F_p^n wobei p immer noch eine Primzahl ist, n allerdings Element der Natürlichen Zahlen, und hatten ein paar eigenartige Rechenregeln an die ich mich leider nicht mehr erinnern kann.

Also eine Definition ist das natürlich nicht, solange du uns nicht auch verrätst was "F_(p^n)" nun wirklich sein soll.
Nach einem Satz von E.H. Moore gibt es übrigens zu jeder Primzahlpotenz q=p^n (p prim) bis auf Isomorphie genau einen Körper mit q Elementen, nämlich den Zerfällungskörper vom Polynom X^q-X über F_p; letzteres ist der Restklassenring Z/pZ.

Wenn du es etwas konkreter haben magst, dann gebe ich hier mal eine Kurzanleitung, wie man ausgehend von F_p einen zu F_(p^n) isomorphen Körper konstruieren kann. Du nimmst dir ein über F_p irreduzibles Polynom P vom Grad n (für deinen Fall 8=2^3 kommen da genau 1+X+X^3, oder 1+X^2+X^3 in Frage) und rechnest nun im Polynomring F_p[X]. Dabei identifizierst du je zwei Polynome, wenn diese bei Polynomdivision durch das vorher gewählte Polynom P denselben Rest lassen. Der Prozess läuft völlig analog zu dem Prozess durch den du aus den ganzen Zahlen die Restklassenringe Z/nZ konstruierst.

Die Arithmetik in dem so konstruierten Körper lässt sich auch sehr einfach implementieren: jedes Polynom in F_p[X] lässt bei Polynomdivision durch P einen Rest vom Grad <n. Durch betrachten aller Polynome in F_p[X] vom Grad <n erhälst du auch alle so auftretenden Reste; diese sind durch ihre n Koeffizienten (die Werte zwischen 0 und p-1 annehmen können) eindeutig bestimmt. Du kannst diese daher über die Zahlendarstellung zur Basis p mit den Zahlen 0,1,2,...,((p^n)-1) identifizieren und so sehr einfach abspeichern. Hast du nun also solche Zahlen, so berechnest du deren Summe bzw. Produkt wie folgt:
1. Fasse die Zahlen als Polynome über F_p[X] auf.
2. Berechne deren Summe bzw. Produkt.
3. Berechne den Rest, welchen diese Summe bzw. dieses Produkt bei Polynomdivision durch P liefert.
4. Stelle diesen Rest wieder als Zahl dar.

P.S.: je nachdem, welches irreduzible Polynom du nimmst, erhälst du selbstverständlich andere Reste. Nach obigem Satz von Moore bekommst du aber bis auf Isomorphie denselben Körper.