Druckbare Version
Guten Abend,
ich schreibe Samstag eine Matheklausur und habe noch 1-2 Fragen.
Funktion: e^2x * (x^2 + 5)
1.Ableitung:
Hier habe ich folgendes:
u= e^2x
v= (x^2 + 5)
u'=e^2x * 2
v'=2x
F'(x)=e^2x * 2 * (x^2+5) + 2x * e^2x
Die Frage dazu: habe ich das richtig gemacht 0.o ?
Frage2: Wenn ich nun die 2te Ableitung machen möchte in wie Fern trifft die Produktenregel dann zu ??
Muss ich die immer anweden wenn ein * (mal) in der Funktion steht ??
Gruß
Für mich sieht das gut aus.
1.) Die Grundidee die Produktregel anzuwenden ist richtig.
2.) u richtig nach der Kettenregel abgeleitet.
3.) v standardmäßig richtig abgeleitet
4.) Richtig eingesetzt.
Ich denke für die zweite Ableitung müsstest du die Produktregel anwenden, indem du die Gleichung vereinfachst, um u=x und v=x^2+5 zu bekommen.
P.S.: Du schreibst Samstags?
Grüße,
Okay danke schonmal da bin ich ja beruhigt das Prinzip verstanden zu haben.
Bei der 2ten bzw wenn ich überhaupt weitermache für die Extremwerte muss ich ja eh Ausklammern oder ?? (wäre denke um einiges einfacher)
Wenn nicht müsste ich ja die Produktenregel mit 3 Faktoren anweden oder sogar mehr wo ich dann garnicht mehr durchblicke.
Bin heute Zuhause gelieben und für morgen schaut es auch nicht gut aus und Samstag ist nachschreibe Termin.
Wenn du die zweite Ableitung nur zur Überprüfung für die Extremwerte benutzen willst, kannst du dir dies auch sparen. Statt zweite Ableitung auf ungleich Null zu überprüfen, kannst du auch durch Einsetzen auf eine doppelte Nullstelle überprüfen. D.h. eine Zahl dicht vor der Extremstelle und eine dicht danach in die erste Ableitung einsetzen und schauen, ob ein Wechsel vom Negativen ins Positive stattfindet.
Solltest du aber anderes als die Extremstellen überprüfen wollen, wie Wendestellen, tja, da brauchste die zweite Ableitung.
Da müsstest du die erste Ableitung erst einmal vereinfachen, wie ich meinen Ansatz vorhin schon geschildert habe.
Jap Komplette Kurvendiskussion müssen wir drauf haben.
Das hört sich sehr interessant an was du dort zu der Extremstellen Überprüfung gesagt hast weist du wie man dieses Verfahren nennt das ich das mal googeln kann ?
Vorzeichenkriterium
Also wo ich herkomme nennt man das groben Unfug.Zitat:
Zitat von Solaro
Versuch das mal an der Ableitung von der Funktion: sin(1/x)
Bei Polynomfunktionen kann man das zwar prinzipiell anwenden, jedoch müsste man dazu erstmal genug über die Lage der Nullstellen der Polynome wissen, was letztlich bedeuten würde die Polynome zu faktorisieren...
Nur für den Fall, dass jemand meint ich müsse dafür zu exotischen Funktionen greifen...
Wie wärs mit f(x) = (1/12)*x^4 - 0.0005*x^2.
Hier der Funktionsgraph im Intervall [-1, 1]:
http://img7.imagebanana.com/img/b0kfnm1g/funkgross.png
Wir sehen ein Minimum, oder?
Hier der Graph in einem kleineren Intervall um die 0:
http://img7.imagebanana.com/img/7kierdsx/funkklein.png
Nun sehen wir ein Maximum... blöd, oder? An der Stelle kann ich euch beruhigen: weiteres "Ranzoomen" wird an dem Maximum nichts mehr ändern.
Wie auch immer; hier der Graph der zweiten Ableitung:
http://img7.imagebanana.com/img/qvmh2vsw/zweiteabl.png
Wir sehen deutlich, dass diese bei x=0 einen negativen Wert annimmt, was heißt dass die erste Ableitung in dem Punkt fällt, also effektiv bei der Nullstelle vom Positiven ins Negative wechselt; die eigentliche Funktion steigt also und fällt dann. Wir erhalten unser Maximum. Das "Standardverfahren" liefert somit korrekte Resultate.
Hier die erste Ableitung:
http://img6.imagebanana.com/img/eezjpmoz/ersteabl.png
Wenn wir (ganz grob) ein x mit |x|<0.05 in die erste Ableitung eingesetzt hätten, dann wären wir auch zur Schlussfolgerung gelangt, dass bei x=0 ein Maximum vorliegt. Hätten wir allerdings für x -0.1 eingesetzt, so wären wir zum Schluss gekommen, dass die Ableitung zuerst negativ ist und dann analog bei x=0.1 positiv. Wir hätten also ein Fallen und anschließendes Steigen, sprich ein Minimum, der Funktion erwartet.
Das ist aber falsch.
Es sollte klar sein, dass ich auch ein Polynom hätte nehmen können, dessen Ableitung erst bei einer Entfernung kleiner als 0.0000001 von der Nullstelle das "richtige" Vorzeichenverhalten annimmt. Da man nun aber nicht a priori wissen kann, wann dieses Verhalten angenommen wird (es sei denn man berechnet die Nullstellen der Polynome, wobei man auch Probleme bekommen kann, da es für Polynome von höherem Grad i.Allg. keine Lösungsformel für die Nullstellen mehr gibt), ist das von Freepler vorgeschlagene Verfahren also Fehleranfällig und daher kein Ersatz für ein exaktes Verfahren.
Okay danke Blackberry dann werde ich das normale Verfahren benutzten.
Nett wäre noch wenn ihr mir eine Frage beantworten könntet zu einer einfachen Funktion:
Wir haben in Klausuren ganz normal das was wir im Unterricht hatten jedoch ist eine Aufgabe "selbstständiges herausfinden" jedoch meinte unser Lehrer wir sollen uns das Verhalten im Unendlich anschauen. Weis wer dazu etwas ??
Ach und für die Nullstellen bei einer Exponential Funktion, der Graph schneidet doch nie die X achse und in meinen Augen gibt es dort auch keine Extrem Werte (wenn ich die Funktion anschaue) ?
Gruß
Verhalten im Unendlichen bedeutet:
Du setzt gedanklich in die Funktion eine unendlich positive und eine unendliche negative Zahl ein.
Dort entscheiden dann nur noch Vorzeichen und der höchste Exponent über den Verlauf des Graphen.
Ist der höchste Exponent eine gerade Zahl, so wird die Graph in den gleichen Bereich streben, aus dem er kommt (bei geraden Exponenten spielt ein Vorzeichen keine Rolle, negative Zahlen werden auch positiv). Welcher Bereich dies ist, entscheidet das Vorzeichen.
Ist der höchste Exponent eine ungerade Zahl, so wird der Graph in den anderen Bereich streben und nicht aus dem er kommt. Aus welchem Bereich er kommt, entscheidet das Vorzeichen.
@blackberry:
Bei uns ist diese Methode anerkannt bzw. akzeptiert. Daher war ich davon ausgegangen, das es eine Alternative darstellen würde, wenn er es nicht schafft, die zweite Ableitung zu bilden. Ansonsten hast du natürlich Recht.
Mir ist nicht klar, was das jetzt heißen soll.Zitat:
Zitat von Solaro
Bei f(x) = (e^(2*x)) * (x^2+5) gehen sowohl (x^2+5)-->oo, wie auch (e^(2*x))-->oo für x-->oo und damit auch f(x)-->oo für x-->oo.
(e^(2*x)) ist immer größer als Null und auch x^2+5 ist immer größer als Null. Das Produkt von beiden Termen ist damit auch stets größer als Null.Zitat:
Zitat von Solaro
Dabei solltest du aber nie den Fehler machen von dem Verhalten der Funktion leichtfertig auf das Verhalten der Ableitung zu schließen.
Betrachten wir mal f(x)=x^2 * e^x.
Für x-->0 geht bekanntlich x^2 gegen Null und e^x gegen 1. Das Produkt aus beiden geht also gegen null. Ist ferner x ungleich Null, so auch jeweils die Faktoren, also ist für x!=0 auch f(x)>0. Zusammen haben wir: f(x)>0 für x!=0 und f(0)=0. Wir haben also ein (globales) Minimum.
Bild von dem ganzen in Sage mit Plot und erster und zweiter Ableitung, sowie den Werten der Ableitungen für x=0:
http://img7.imagebanana.com/img/bxyt407o/f.png
Mit der von dir betrachteten Funktion simmt das also; mit der von mir betrachteten wieder mal nicht. Anschauung ist sicher gut, aber nunmal nicht hinreichend.
Die Kurvendiskussion in der Art wie sie betrieben wird hat eben schon ihre Daseinsberechtigung, auch wenn es per Hand oft nicht umbedingt leicht ist Ableitungen zu bilden. (aber gut; dafür hat man ja mittlerweile Computer; in der Schule geht es aber leider nicht um Mathe sondern ums Rechnen und folglich wirst du um die Fleisarbeit nicht herumkommen)
Btw: als Exponentialfunktion bezeichnet man eigentlich nur exp:x|-->e^x und nichts anderes.
Es ist zugegebenermaßen oft eine gute Möglichkeit, um eine Vorstellung von dem Verhalten einer stetigen Funktion zu bekommen, das Beispiel sollte aber Beweis genug dafür sein, dass man dadurch keine hinreichende Aussage erhält.Zitat:
Zitat von Freepler
Großen dank an euch beide,
dank auch an meinen Lehrer der zu faul sein wird noch eine Arbeit zu schreiben.
Leak der morgigen Klassenarbeit:
Zitat:
1.x^3+2x^2-4x+1
@Black: Mir war nicht klar das eine EXP Funktion nur eine Nullstelle und einen Extremwert besitzt jetzt ist es natürlich viel logischer...Zitat:
2.e^x * (4x-1)
Gruß & Dank Solaro